Opérateur différentiels
→ EDP : \(L(u)=f\)
Linéaire si \(L\) linéaire et \(f\) connu => combili solution est solution

Equation aux dérivées partielles

equation liant u(x, y, …) et \(u_x\) ( dérivée partielle)
chemin : \(\Gamma(s)=(x(s),y(s))\)
u sur le chemin := \(f(s)\)

• EDP homogène : contient uniquement termes impliquant u et ses dérivées

• EDP linéaire : est linéaire par rapport à toutes ses dérivées partielles

• EDP quasi-linéaire : est linéaire par rapport aux dérivées partielles de l’ordre le plus élevé

Conditions aux limites

de Dirichlet : u \(u(x,0)=f(x)\)
de Neumann : dérivée de u. \(u_y(x,0)=f(x)\)
de Robin : u et dérivée de u. \(l_{0}u_y(x,0)+u(x,0)=f(x)\)

Types d'EDP

EDP premier ordre

• \(Pu_x+Qu_y=R\) avec \(P, Q, R\) : fonctions de \(x, y, u\)
  → méthode des caractéristiques

EDP de transport

• \((cu)_{x}+u_{t}= 0\) avec \(c\), fonction de \(x\)
  → méthode des caractéristiques > EDP de transport EDP EDP de transport

EDP seconde ordre

• \(Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}=R\) avec \(A, B, C, R\) fonction de \(x,y,u\)
  Hyperbolique \(B^{2}-4AC>0\) → méthode des caractéristiques
  Parabolique \(B^{2}-4AC=0\) → méthode de la séparation des variables
  Elliptique \(B^{2}-4AC<0\) → méthode de la séparation des variables

Equation d'onde

• \(c^{2}\nabla^{2}u-u_{tt}=0\) - hyperbolique
  → méthode des caractéristiques

Equation de Laplace

• \({}\nabla^{2}u=0\) - Elliptique

• =partie \(Im\) ou \(Re\) d'une fonction holomorphe
  → méthode de la séparation des variables

• Théorème de la valeur moyenne : valeur au centre d’un cercle compris dans le domaine \(\Omega\) est égal à la moyenne sur le cercle

• Théorème du maximum-minimum : La valeur maximale (minimale) de \(u\) est toujours atteinte sur la frontière du domaine

• théorème de la divergence : \(\int _{V}\nabla\cdot f \, dV=\int _{\partial V}f \cdot\, dS\)

Equation de diffusion

• \({}\alpha \nabla^{2}u-u_{t}=0\) - Parabolique
  → méthode de la séparation des variables

• Caractéristiques inutilisables : dégénérées car parallèles à l’axe des x

Résolution

méthode des caractéristiques
méthode de la séparation des variables