\(f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}:z \to f(z)\)
Fonction conforme : préserve les angles orientés \(\iff\) \(f\) est une bijection holomorphe

Limite

• définition : \(\lim_{ z \to w }f(z)=y\) si \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,z\in B_{*}(w,\delta)\to f(z)\in B(y,\epsilon)\)

• soit \(w\in dom f\) ouvert, alors \(\lim_{ \delta_{R}\in \mathbb{R}, \delta_{R} \to 0 } f(w + \delta_{R}z) = y\)

• Théorème de l'unicité de la limite : \(\lim_{ z \to w }f(z)\) valeur unique

Dérivées

• dérivée : \(f'(z)=\frac{ df }{ dz }z=\lim_{ \Delta \to 0 } \frac{{f(z+\Delta)-f(z)}}{\Delta}\)

• Condition de Cauchy-Riemann : \(f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)\) derivable \(\iff \left\{\begin{align} u_{x}&=v_{y}\\u_{y}&=-v_{x} \end{align}\right.\)

• \(f\) holomorphe : dérivable infiniment sur \(A\) (\(\mathbb{C}:f\) dérivable ⇒ dérivable infiniment)

Principe des zeros isolés

• \(z_{0}\) zéro isolé ⇔ \(f(z_{0})=0\) et \(\forall z\in B^*(z_{0},\epsilon), f(z)\neq 0\) avec \(f:\mathcal{A}\to \mathbb{C}\) un ensemble ouvert connexe, holomorphe

• tous zéros isolés -ou- \(f(z)=0\)

  • si \(h=f-g\) et \(f,g\) possèdent 2 points non isolés de meme image → \(f=g\)

Fonction analytique

• analytique ⇒ holomorphe sur \(A\)

• ⇔ définie localement avec une série potentielle (série converge)

• ⇔ définie partout aver une série de Laurent (série converge)

• \(\exists w\in A :f(w)\neq 0\) et zéro non-isolé ⇒ f ! analytique

Fonctions multiformes

retourne un ensemble \(f:\mathbb{C}\to A\subset \mathbb{C}\)

• Exemple : \(|z|=arg(z)=\arctan (\frac{b}{a})+2k\pi\) (, , racine carrée)

  • \(arg(zw)=arg(z)+arg(w)\)
  • logarithme : \(\log(z)=\log(|z|)+i\cdot arg(z)\)

• branche \(\bar{f}\)

• point de branchement : (point singulier)( → arg(z) : 0)

  • image de f d'un tour de est une courbe non fermée

• coupure : couper notre région pour isoler → arg(z) : \([0,2\pi[\)

• fonction entière : définie partout