intégrale de chemin : \(\int _{\gamma}f(z) \, dz=\int_{a}^{b} f(\gamma(t))\gamma'(t) \, dt\) avec chemin \(\gamma\) continuellement dérivable sur \([a,b]\) et la taille du chemin \(l(\gamma):=\int_{a}^{b}|\gamma'(t)| \, dt\)
- décomposer \(\gamma\) !cont dér en \(\gamma_{i}\) cont dérivables → sommer les intégrales
Borne \(M\) : \(|f(z)| \leq M\) ⇒ \(|\int_{\gamma}f(z) \, dz|\leq Ml(\gamma)\)
convergence : \(f_{n}\)(suite de f cont) converge uniformément vers \(f\) sur \(\gamma\)
- ⇒ \(\int _{\gamma}f(z) \, dz=\lim_{ n \to \infty }\int _{\gamma}f_{n}(z) \, dz\)
Lemme de Goursat : \(f:\mathcal{A}\to \mathbb{C}\) dérivable et \(T\in A\) ⇒ \(\int _{\partial T}f(z) \, dz=0\)
\(f\) primitivable : \(F'=f\) :
- \(\int _{\Gamma}f(z) \, dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))\)

Théorème des résidus¶

formule : \(\oint_{\gamma}fdz=2\pi i\sum_{c}^{}ind(\gamma,c)res(f,c)\)
Indice \(Ind(f,\gamma)\) : nb tour de \(\gamma\) autour de \(c\) (sens trigonométrique)
Résidu : terme \(a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C(c,1)} f(z)\,dz\) de la série de Laurent
- si \(c\) est une singularité apparente : \(a_{-1}=0\)
- \(c\) est un pole d'ordre 1 : \(a_{-1}=\lim_{ z \to c }(z-c)f(z)\)
  - \(f=\frac{g}{h}\) alors \(a_{-1}=\frac{g}{h'}\)
- \(c\) est un pole d'ordre \(n\) : \(a_{-1}=\lim_{ z \to c } \frac{((z-c)^nf(z))^{(n-1)}}{(n-1)!}\) :
  - \(f=\frac{h}{(z-c)^n}\) et \(h(z-c)\neq 0\) ⇒\(Res(f,c)=h'(c)\)
- \(c\) est une singularité essentielle : ? → série de Laurent explicite ou intégrale
Singularités : point \(c\) isolé ou \(f\) n'est pas définie
- poles d'ordre \(n\) : \(a_{-n}\neq 0; \forall k>n, a_{-k}=0\)
- Singularité apparente : \(\forall k>0,a_{-k}=0\)
- Singularité essentielle : le reste (+complexe) (\(e^{1/z}\))

Homotopie¶

homotopie : transformation continue : \(\Gamma(t,s):[0,1]^{2}\to A\)
homotopes \(\gamma_{1},\gamma_{2}:[0,1]\to A\) ssi homotopie:
- \(\Gamma(t,0)=\gamma_{1}(t)\) et \(\Gamma(t,1)=\gamma_{2}(t)\) avec \(\forall t\in [0,1]\)
- (\(\forall s \in[0,1],\Gamma(0,s)=\Gamma(1,s)\) ou \(\Gamma_{s}(0,s)=\Gamma_{s}(1,s)=0\))
⇒ Théorème de l'invariance : soit \(f\) holomorphe: \(\int_{\gamma_{1}}^{} f(z) \, dz=\int_{\gamma_{2}}^{} f(z) \, dz\)