Opérateur différentiel \(L\)¶
linéaire si : \(L(au + bv) = aL(u) + bL(v)\)
soit fonctions propres \(X_{n}(x)\), valeurs propres \(k_{n}\)
Produit scalaire : \(\langle X_{m}, X_{n} \rangle=\int_{0}^{L} X_{n}(x)X_{m}(x) \, dx\)
Auto-adjoint \(L\) : \(\langle X_{m},L(X_{n}) \rangle=\langle X_{n},L(X_{m}) \rangle\)
- → orthogonaux : \(\langle X_{n},X_{m} \rangle=0\)
pb matriciel \(Ax + \lambda x = 0\):
-
vecteurs propres d'une matrices orthogonaux
-
A symétrique si \(\langle x,Ay \rangle=\langle y,Ax \rangle\)
nabla
Coordonnées planes¶
-
Gradient : \(\nabla u=\frac{ \partial u }{ \partial x }\vec{e}_{x}+\frac{ \partial u }{ \partial y }\vec{e}_{y}\)
-
divergence : \(\nabla \cdot u = \frac{ \partial u }{ \partial x }+\frac{ \partial u }{ \partial y }\)
-
Laplacien : \(\Delta f=\nabla^{2}f=\nabla\cdot(\nabla f)=\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }+\frac{ \partial^{2} u }{ \partial y^{2} }\)
Coordonnées polaires¶
-
Gradient : \(\nabla u =\frac{ \partial u }{ \partial r }\vec{e}_{r}+\frac{1}{r}\frac{ \partial u }{ \partial \theta }\vec{e}_{\theta}\)
-
Divergence : \(\nabla \cdot u=\frac{1}{r}\left( \frac{ \partial u_{r}r }{ \partial r } + \frac{ \partial u_{\theta} }{ \partial \theta }\right)\)
-
Laplacien : \(\Delta f=\nabla^{2}f=\nabla\cdot(\nabla f)=\frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r }\left( r\frac{ \partial f }{ \partial r } \right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{ \partial^{2} f }{ \partial \theta^{2} }\)