Série potentielle¶

définition : \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-b)^n\)
Continuité ⇔ tous termes continus
Série exponentielle : \(e^z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\)
décroissance géométrique : \(\exists t \in]0,1[,C>0,\rho>0:\forall n\in\mathbb{N} ,|a_{n}|\rho^n\leq Ct^n\) ⇒ il existe \(t,C,\rho\) tel que \(Ct^n\) borne les indices \(a_{n}\) * \(\rho^n\)
Rayon de convergence : \(R=\left( \lim_{ n \to \infty } | \frac{a_{n+1}}{a_{n}}| \right)^{-1}\)
- fonction de racine plus compliquée :\(R=\left( \lim_{ n \to \infty } (sup_{m\geq n}| a_{m}|^{1/m} \right)^{-1}\) (\(R=0\) fonctionne toujours mais ! intérêt )

Séries de Laurent¶

approximation globale : \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-b)^n+\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-b)^{-n}\)

→ Séries géométriques : \(\frac{1}{1-w}=\sum_{n=1}^{\infty}w^n\) avec \(|w|<1\)
Lemme décalage des coefficients : \(f(z)(z-c)^n=\sum_{k\geq 0}^{}a_{k-n}(z-c)^k +\sum_{k\leq-1}a_{k-n}(z-c)^k\)
Calcul des termes \(f:A(c, r, s) \to \mathbb{C}\) holomorphe
- ⇒ \(a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(c,t)} \frac{f(w)}{(w-c)^{n+1}} \, dw\) (avec \(t\in ]s,r[\) )
  voir Taylor