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Méthode de la séparation des variables

Application : EDP > Equation de Laplace et Poisson

Sur un pavé

fonctions univariées : \(u(x,y)=X(x)\cdot Y(y)\)
équation en 2 dimensions : \(u_{xx}+u_{yy}=0 \implies \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0\)

  • ⇒ \(\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=\lambda\) voir : problème aux valeures propres

  • solution : \(u(x, y) = \sum_{1}^{\infty} X(x)Y (y)\)

  • condition non-homogènes : multiplie par \(\sin(kmx)\) (f orthogonale sur \([0,L]\))

    • On intègre pour trouver les \(E_{n}\)
    • \(u=\sum u_{i}\) : chaque solution \(u_{i}\) prends 1 condition non-homogène

  • Lien avec fonction holomorphe: \(\exists f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)\) holomorphe :

    • \(\mathbb{R}(f)=u\) et \(\nabla u,\nabla v\) orthogonaux

  • lignes de champ : \(\frac{ d\xi(t) }{ dt }=\nabla u\) → \(v(\xi (t))=cst\)

Dans un secteur

pour un cercle : \(u_{rr}+\frac{u_{r}}{r}+\frac{u_{\theta\theta}}{r^{2}}=0\)
\(u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)\) ⇒ \(\frac{{r^{2}R''+rR'}}{R}=-\frac{\Theta''}{\Theta}=\lambda\)

  • \(\lambda=k^{2} \implies R_{n}(r)=C_{n}r^{k_{n}}+D_{n}r^{-k_{n}}\) (équation d'Euler d'ordre 2)
    • \(R(0)\) est fini ⇒ \(D_{n}=0\)
    • \(k=0\) ⇒ \(R_{n}(r)=C_{n}\ln(r)+D_{n}\)

Application : EDP > Equation d'onde

Sur un pavé (2 dimensions)

séparation des variables : \(u(x,y,t)=\phi(x,y)T(t)\)
équation de base : \(c^{2}T\nabla^{2}\phi-T''\phi=0\) → \(\frac{\nabla^{2}\phi}{\phi}=\frac{T''}{c^{2}T}=\lambda\)
eq onde oscillent : \(\lambda=-k^{2}\)

  • comme \(\lambda<0\) : \(T(t)=A\cos(kct)+B\sin(kct)\)
    (fréquence \(f=\frac{kc}{2\pi}\))

  • 2eme equation : \(\nabla^{2} \phi+k^{2}\phi=0\) Problème de Helmholtz

  • Recomposer \(u\) : \(u_{mn}=\phi_{mn}T_{mn}\) → \(u(x,y,t)=\sum_{}^{m}\sum_{}^{n}u_{mn}\)

  • Determiner les coefficients

Sur un anneau

\(u(r,\theta,t)=R(r,\theta)T(t)\)

Application : équation de diffusion

  • EDP > Equation de diffusion : solution de régime et transitoire : \(u=R+\Theta\)
    → sol de régime : (mode \(0\)) avec : \(\frac{ \partial U }{ \partial t }=0\)
    solution transitoire : injecte \(u=R+\Theta\) dans EDP

Plus

Théorème des fonction indépendantes

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