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Méthode des caractéristiques

transformer EDP en EDO
condition initiale : \(u(\Gamma(s))=f(s)\) (souvent \(\Gamma(s)=(0,s)\))

Premier ordre : EDP > EDP premier ordre

Verification du problème de Cauchy

dérivée directionnelle :\(\frac{du}{ds}=u_{x} \frac{dx}{ds}+u_{y} \frac{dy}{ds}\)

Trouver les courbes caractéristiques :

\(\begin{vmatrix}P &Q\\\frac{dx}{ds} & \frac{dy}{ds}\end{vmatrix}=0\) → \(Pdy=Qdx\) et on intègre sur \([\Gamma ; (x,y)]\)

  • n'intersecte qu'une seule fois \(\Gamma\)

  • \(R=0\) → \(u\) est conservée le long des caractéristiques

Trouver l'EDO

Relations caractéristiques : (vérifiées le long de chaque caractéristique)
\(Pdu=Rdx\) et \(Qdu=Rdy\)
pseudo équation : \(\frac{P}{dx}=\frac{Q}{dy}=\frac{R}{du}\) (pour retenir)

EDP de transport : EDP > EDP de transport

Forme conservative : \(\iff\frac{d}{dt}\int_{a}^b u \,dx =0 \iff [cu]_{a}^b = 0\)

  • courbe caractéristique : \(cdt=du\)

  • \(d(cu)=0\) : \(cu\) est cst le long des caractéristiques (c indépendant de t)

    • ⇒ \(u(x,y)=\frac{c(s)}{c(x)}f(s)\)

Equation onde 1 dimension : EDP > Equation d'onde

  • On a \(u=c\frac{ \partial \phi }{ \partial x }\) et \(v=\frac{ \partial \psi }{ \partial t }\)

  • caractéristiques : \(\pm cdt=dx\) ⇒ : \(c^{2}du_{x}dt-du_{t}dx=0\)

  • \(c\) constant ⇒ \(s=x\pm ct\)

  • Invariants de RIemann : \(u\pm v\) cst sur caracteristiques

  • Factorisation : \(\left( c \frac{ \partial }{ \partial x }-\frac{ \partial }{ \partial t } \right)\left( c \frac{ \partial }{ \partial x }+\frac{ \partial }{ \partial t } \right)\phi=0\)

  • ch de variable : \(\begin{align} \xi=x-ct \\ \eta=x+ct \end{align}\) ⇒ \(\frac{ \partial^{2} \phi }{ \partial \xi \partial \eta }=0\)
    ⇒ \(\phi=f_{1}(\xi) + f_{2}(\eta)\)

    [!check]- solution finale : \(u=f(x+ct) - f(x-ct)\)

calculer \(u_{s}\) via la CI : \(u_{s}=u_{t}=-cf_{1}'(s) + cf_{2}'(s)\)
Problème de Helmholtz

Méthode générale

2 direction tel que : \(\begin{vmatrix}A & B & C \\dx & dy & 0 \\0 & dx & dy\end{vmatrix}=0\)

  • <=> racines de \(C\frac{ dx ^2 }{ dy }-B\frac{ dx }{ dy }+A=0\)

    • 2 racines : EDP hyperbolique
    • 1 racines : EDP parabolique
    • 0 racines : EDP elliptique

  • Développer méthode des caractéristiques en partant de 2 points diff (On a remplacé une des colonnes du det par R, du, dv) :

    • \(Adudy1 + Cdvdx1 = Rdy1dx1\)
    • \(Adudy2 + Cdvdx2 = Rdy2dx2\)