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Systèmes Fermé

1er Principe thermodynamique - principe d'équivalence

Energie interne : \(\Delta U=Q+W\) (variable d'état)
chaleur \(Q\) (du point de vue du système ) équivalent au travail \(W\)

  • \(\delta W=-pdV\) (cas réversible : transformation lente, \(p_{interne} = p_{externe}\))

    • (⇒ \(W=mR^*T\ln\left( \frac{V_{1}}{V_{2}} \right)=mR^*T\ln\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)\))

  • Enthalpie \(H:=U+pV\)

    • \(dH=\delta Q_{p}\) (\(p\) constant)

Capacité calorifique

Capacité calorifique (\(V\) cst) \(C_{V}:=\left( \frac{ \partial U }{ \partial T } \right)_{V}=\frac{ddl}{2}R\)

  • Gaz quelconque ⇒ \(dU=C_{V}dT+\pi_{T}dV\)
    • \(V\) cst / Gaz parfait ⇒ \(dU=C_{V}dT\) ⇒ \(\Delta U=C_{V}\Delta T\)
      • (on considère \(C_{V}(T)\) cst)
        Capacité calorifique (\(p\) cst) : \(C_{p}:=\left( \frac{ \partial H }{ \partial T } \right)_{p}\) ⇒. \(dH=C_{p}dT\)

Relation de mayer \(C_{P}>C_{V}\) : \(C_{p}-C_{V}=\alpha V(\pi_{T}-p)\)

  • avec \(\alpha\) coeff de dilatation thermique à \(p\) cst : \(\alpha=\frac{1}{V}\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right)_{p}\)

  • gaz parfait : \(C_{p}-C_{V}=mR^*\)

coefficient Joules Thompson \(\mu_{T}=\left( \frac{\delta T}{\delta P} \right)_{H}\) et \(\pi_{T}=\left( \frac{ \partial U }{ \partial V } \right)_{T}\)

  • gaz quelconques \(\mu_{T}, \pi_{T} \not = 0\)

  • gaz idéaux (GP) \(\mu_{T} = \pi_{T}=0\)

degrés de liberté :

  • Gaz monoatomiques : \(ddl=3\)

  • Gaz polyatomiques : \(ddl=(\lambda _{translation}+\lambda_{rotation}+2\lambda_{vibration})\)

    • \(\lambda_{translation}=3\) , \(\lambda_{rotation}=2\) à température ambiante
    • \(\lambda_{vibration}=1\) : \(T\to\) dissociation(\(E_{c-vib}=E_{p-vib}=\frac{R}{2}\))

Systèmes ouverts

soit \(n\) le nombre de frontière ouvertes

  • Conservation de la masse \(\frac{dm}{dt}=\sum_{1}^{n}\dot{m}_{i}\)

  • incompressible : \(\frac{dV}{dt}=\sum_{1}^{n}\dot{V}_{i}\)

  • pression dynamique : \(p_{dyn}=\frac{\rho c^{2}}{2}\)

Conservation de l'énergie mécanique

  • \(w_{i}\) travaux des forces internes

    • changement de pression - viscosité du fluide : \(w_{i}=\int_{1}^{2} p \, dv-w_{f}\)

  • \(w_{e}\) travaux des forces externes de contact : \(w_{e}=w_{m}-\Delta(pv)\)

    • avec \(w_{m}\) travail externe et force d'entrée

  • \(w_{d}\) travaux des forces à distance - énergie potentielle : \(w_{d}=g\Delta z\)
    Bilan énergie : \(\Delta k+g \Delta z=w_{i}+w_{e} =[J /kg]\)
    ⇒ \(w_{m}=\int_{1}^{2} v \, dp+\Delta k+g\Delta z+w_{f}\) (\(w_{m}>0\) : \(W\) reçu par le fluide)
    Équation de Bernouilli : \(p_{1}+\frac{\rho c_{1}^{2}}{2}+pgz_{1}=p_{2}+\frac{\rho c_{2}^{2}}{2}+pgz_{2}\) travail moteur nul, dissipation par frottement nulles, fluide incompressible
    Bilan Energie mécanique et interne \(w_{m}=-q+\Delta h+\Delta k+g\Delta z\) avec \(\Delta u+\Delta k+g\Delta z=w_{e}+q\)
    ⇒ \(\Delta h=\int_{1}^{2} v \, dp+q+w_{f}\) (Premier principe)