Théorie de Bernoulli - gaz

• molécules : sphère (diamètre \(d\), masse \(m\))

• \(d\ll\lambda\ll L\)

• mouvements indépendant des autre mol

• \(E_{c}\) constante (mécanique classique)

• parois n'absorbent pas d'énergie

• molécules triées par vitesse (? position)

Propriétés

• pression \(p=\frac{1}{3}\rho\overline{c^2}\) (choc des molécules sur les parois \(\frac{\sum F}{A}\))

• Température : \(\bar{k}=\frac{3}{2}k_{B}T\) (GP)

• Énergie interne - énergie cinétique : \(U=\frac{3}{2}nRT\) (GP)

• libre Parcours moyen : \(\lambda=\frac{RT}{4\sqrt{ 2 }r^{2}\pi pN_{A}}=\frac{\bar{c}}{z}\) (\(z\):choc/sec)

  • distance moyenne parcourue par une mol avant d'en rencontrer une autre

• Effusion de Graham : \(\frac{dN}{dt}=\frac{pA\sqrt{N_{A}}}{\sqrt{ RT\pi M_{m} }}\) gaz → paroi poreuse (\(N\) mol)

  • → \(\frac{dN_{1}}{dN_{2}}=\frac{\sqrt{ Mm_{2} }}{\sqrt{ Mm_{1} }}\)
  • → pression : \(p(t)=p_{0}e^{ -At/V \sqrt{ \frac{RT}{2\pi M_{m}} }}\) (température cst, p lent)

• Distribution de Maxwell-Boltzmann (m gaz homogène, isotrope, v continue et \(\exists\) distribution stationnaire)

  • \(c_{p}=\sqrt{ \frac{2RT}{M_{m}} }\) vitesse la plus probable
  • \(\bar{c}=\sqrt{ \frac{4}{\pi} }c_{p}\) vitesse moyenne
  • \(\sqrt{\bar{c^2}}=\sqrt{\frac{3}{2}} c_{p}\) vitesse quadratique moyenne
  • (\(\phi_{i}(x)\) = probabilité d’avoir vitesse \(C_{i}\) inférieure à \(x\))

Limites de validité

• Facteur de compression : \(Z=\frac{pV_{m}}{RT}\) (gaz parfait ⇒\(Z=1\))
  

• température de Boyle : température ou le gaz agit comme un gaz parfait \(p\ll\)

• équation de Van der Waals : \((p+AV^{-2}_{m})(V_{m}-b)=RT\)