→ CA - questions de restitution
 

• Ensembles ( Suites et Séries)

• distance, norme, produit scalaire

• Espaces

Série de fourier

• Série de Fourier \(f:[-\pi,\pi]\to \mathbb{C}{}\) ⇒ \(f(x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}^{}\hat{f}_{k}e^{ikx}{}\)
  • avec \(\hat{f_k} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-iky}f(y) dy{}\)
  • \(\langle f,g \rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^*g \, dx{}\)
  • (\(L^{2}(-\pi,\pi)\to L^{2}{}\))
  • \(\{ e^{ikx} \}{}\) : base orthonormée
  • Sommes partielles $$-n,n$$ \(S_{n}[f](x):=\sum_{k=-n}^{n}\hat{f}_{k}e^{ikx}\)\(=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_{n}(x-y)f(y) \, dy{}\)
    • noyeau de Dirichlet \(D_{n}(x)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left( x\left( n+\frac{1}{2} \right) \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)}{}\)
      • (\(\int_{-\pi}^{\pi} D_{n}(x) \, dx=2\pi{}\)) et \(D_{n}(x) = D_{n}(x+2\pi){}\)
    • ⇒ \(S_{n}[f](x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_{n}(x-y)f(y) \, dy{}\)
  • Sommes moyennées \(\tilde{S}_{n}[f]:=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_{n}[f]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_{n}(x-y)f(y) \, dy{}\)
    • noyeau de Féjer \(F_{n}(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=-n}^{n}D_{n}(x)=\frac{1}{n}\left( \frac{\sin\left( \frac{nx}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} \right)^2{}\)
      • \(\int_{-\pi}^{\pi} F_{n}(x) \, dx=2\pi{}\) et \(F_{n}(x)=F_{n}(x+2\pi){}\)
    • \(f{}\) continue + période \(2\pi{}\) ⇒\(\bar{S}_{n}f\to f{}\) uniformement (→ \(\lim_{ n \to \infty }\tilde S _{n}[f]=f{}{}\))

Mesures

• Tribus : \(\Sigma \subseteq \mathbf{B}(X){}\);1. \(\emptyset \in \Sigma{}\) 2. \(A,X\setminus A\in \Sigma{}\) 3. \(\bigcap _{j\in \mathbb{N}}A_{j}\in \Sigma{}\)

  • ⇒ \(\bigcup_{j}A_{j}=X\setminus\bigcap_{j\in \mathbb{N}}(X\setminus A_{j}) {}\)
  • tribu Borélienne : la plus petite tribu contenant les ouverts
    • \(\mathfrak{B}(X)=\{ B:=\text{ensemble borélien}\}{}\)

• mesure \(\mu(A):\Sigma \to \mathbb{R}^+{}\) :

  1. \(\mu(\emptyset )=0{}\)
  2. \(A_{j}{}\) disjoints : \(\mu(\bigcup A_{j})= \sum\mu(A_{_{j}}){}\) (\(<{}\)si \(A_{j}{}\) ! disjoints)

• fonction Borel-mesurable : \(f:X\to Y{}\) si \(\forall A\in \mathcal{B}(Y),f^{-1}(A)\in \mathcal{B}(X){}\)

  • \(\forall A\subseteq Y{}\) ouvert \(f^{-1}(A)\in \mathcal{B}(X){}\) ⇒ mesurable
  • \(\forall A\subseteq Y{}\) ouvert : \(f^{-1}(A)\subseteq X{}\) est ouvert ⇒ mesurable
  • \(f{}\) continue ⇒ mesurables

• suite croissante : \(A_{n}\subseteq A_{n+1}{}\) ⇒ \(\mu(\cup A_{n})=\lim_{ n \to \infty }\mu(A_{n}){}\)

  • décroissante: \(A_{n+1} \subseteq A_{n}\) et \(\mu(A_1) < +\infty\)⇒ \(\mu(\bigcap_{n=1}^\infty A_n) = \lim_{n\to \infty} \mu(A_n)​\)

• \(E{}\) ensemble négligeable : \(\exists A:\mu (A)=0, X\subseteq E{}\)

  • dénombrable ⇒ négligeable
    Exemples :

• mesure de Jordan : Lesbegue avec somme finie

• mesure de Lebesgue : la plus petite mesure qui coincide avec le volume

  • (m. ext. de L : \(\lambda^{n,*}(A):=\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty|R_j|\vert A\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty R_j , R_j\in \mathcal{S}^n\right\} {}\)
    • avec \(\mathcal{S}^{n}{}\) ensemble de rectancles seme-fermés de \(\mathbb{R}^n{}\)
  • ⇒ \(\lambda^n:\mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)\rightarrow[0,\infty[\) ⇒ \(\lambda^n(A)=\lambda^{n,*}(A){}\)

• mesure de Dirac : \(\mu_{x}(A) := \begin{cases}1 \ \text{ si } x \in A \\ 0 \ \text{ sinon}\end{cases}{}\) (\(\mu : \mathfrak{P}(X) \to [0,+\infty]{}\))

• E Cantor(-Smith-Volterra) \(C=\cap^\infty C_{k}{}\) : \(C_{0}=[0,1],C_{n}:2^n{}\) intervalles (on retire ⅓ au milieu a chaque fois)

  • non dénombrable mais négligeable (!Jordan mesurable)

Intégrales

• \(f{}\) intégrable sur \(X{}\): \(\int _{X}f \, d\mu<\infty{}\)

• \(f:X\to Y{}\) mesurable borel-mesurable:

  • \(\forall A\in \mathfrak{B}(Y):f^{-1}(A)\in \mathfrak{B}(X){}\)

• \(\lim \int \neq \int \lim{}\) sauf si :

  • th. de la convergence monotone : \(f_{n}:X\to \mathbb{R}^+{}\) décroissante(\(f_{n}\leq f_{n+1}{}\)) et mesurable et conv ponctuellement \(\to f{}\)
  • th. de la convergence dominée :\(f_{n}:X\to \mathbb{C}{}\) mesurable et conv ponctuellement \(\to f{}\) et \(\forall n\in N,|f_{n}|\leq g{}\) avec \(g:X\to \mathbb{R}^+{}\)

• pondérer \(v(A)=\int _{A}f \, d\mu{}\) avec \(f{}\) le poids

  • théoreme de Radon-Nikodym : \(\mu{}\) dénombrable finie et \(v{}\) abs continue pdv \(\mu{}\) ⇒ \(\exists f=\frac{dv}{d\mu} {}\)

• ch de variable\(f_{*}\mu(A):=\mu (f^{-1}(A)){}\) avec \(f:X\to Y{}\) et \(\mu:X{}\)

• fonction caractéristique : \(\chi_{A}=\left\{ 1:x\in A,0 \}\right.{}\)

• vrai presque partout→\(A\subseteq X:\exists E\subseteq A:\mu(E)=E{}\) et vrai dans \(A\setminus E{}\)

  • \(f=0{}\) presque partout ⇔ \(\int _{X}f \, d\mu{}=0\)

Définition (démo) intégrales

• \(s{}\) fonction simple : \(s:\mathbb{R}\to X{}\)

• Intégrales Simples : \(\int _{A}s \, d\mu=\sum^p\alpha_{i}\mu(A\cap s ^{-1}(\alpha_{i})){}\) avec \(\alpha_{i}{}\) hauteurs

  1. \(\int _{A}s \, d\mu=\int _{X}\chi_{A} \, d\mu{}\)
  2. \(\int _{A}s \, d\mu\leq \int _{B}s \, d\mu{}\) avec \(A\subseteq B{}\)
  3. \(\int _{A}s \, d\mu\leq \int _{A}t \, d\mu{}\) avec \(s(x)\leq t(x){}\)
  4. \(\int _{\cup A_{n}}s \, d\mu=\sum\int _{A_{n}}s \, d\mu{}\) E disjoints : stabilité par union dénombrable
  5. \(\int _{\cup A_{n}}s \, d\mu\leq\sum\int _{A_{n}}s \, d\mu{}\) E quelquonques
  6. \(\int _{A}\sum a_{i}s_{i} \, d\mu=\sum a_{i}\int _{A}s_{i} \, d\mu{}\)

• Intégrales positives : \(\int _{A}f \, d\mu=sup\left\{ \int _{A}s \, d\mu, s\leq f \right\}{}\) (\(s:X\to[0,\infty]{}\)simple → f)

• Intégrales : \(f=f^+{}-f^-\) ⇒ \(\int f \, d\mu=\int f^+ \, d\mu-\int f^- \, d\mu{}\) (\(f^+, f^-{}\)intégrables)

• Intégrales Complexes : \(\int _{A}f \, d\mu{}=\int _{A} \mathfrak{R}(f)\, d\mu+i\int _{A} \mathfrak{I}(f)\, d\mu+\) (\(\mathfrak{R,I}{}\) intégrables)

Bonus

Fonctions

• th. de Weierstrass : \(\forall f:\exists f_{n}\to f{}\) (⇒ \(I{}\) compact ⇒polynomes dense dans \(C(I){}\))
   
  ⅕ - ⅖ pondération des devoirs