- \((a_{n})_{n\in \mathbb{N}}{}\) (tjrs infini); (SS: sous suite) (espace métrique → )

• suite \(a_{n}{}\) converge : \(\exists N_{\epsilon}: \forall n>N_{\epsilon}:d(a_{n}, a)<\epsilon \quad(\forall\epsilon>0){}\)

• suite de Cauchy : \(\exists N_{\epsilon}:\forall m,n>N_{\epsilon},d(a_{n},a_{m})<\epsilon{}\)

• suite sommable : \((\sum_{0}^{n}x_{k})_{n\in \mathbb{N}}{}\) converge

• suite bornée

• suite convergente ⇒ de Cauchy ⇒ bornée

• monotone + bornée ⇒ converge

• de Cauchy : \(\exists{}\) SS convergente ⇒ converge

• th. de l'étau : \(a_n\leq b_{n}\leq c_{n}\) et \(\lim_{ n \to \infty }a_{n}=\lim_{ n \to \infty }c_{n}=a\)
  ⇒ \(\lim_{ n \to \infty }b_{n}=a\)

• th. de Bolzano–Weierstrass : suite bornée \(R^n{}\) → sous suite convergente

• lim existe \(\lim_{ n \to \infty }x_{n}=x^*{}\) ⇒ converge

• admet un point d'accumulation \(x{}\) : \(\exists{}\) SS converge → \(x{}\)
   

• suite de fonctions : \((f_{n})_{n\in N}{}\)

• converge ponctuellement vers\(f{}\) :\(\forall x\in X:(f_{n}(x))_{n\in \mathbb{N}}{}\) converge vers \(f(x){}\)

• conv uniformément : \(\lim\limits_{ n \to \infty }\sup \limits_{x\in X}d(f_{n}(x),f(x))=0{}\)

Série

• Série \(s_{n}(x)=\sum_{0}^{n}u_{k}(x){}\)

• Série Converge : \(\sum_{0}^{\infty}\sup\limits_{x\in X}\lvert \lvert u_{k}(x) \rvert \rvert<\infty{}\)

• Série géométrique \(s_{n}=\sum_{a}^b r^i=\frac{r^a-r^{b+1}}{1-r}\)