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CA - questions de restitution
 

Série de fourier

  • Série de Fourier \(f:[-\pi,\pi]\to \mathbb{C}{}\)\(f(x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}^{}\hat{f}_{k}e^{ikx}{}\)
    • avec \(\hat{f_k} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-iky}f(y) dy{}\)
    • \(\langle f,g \rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^*g \, dx{}\)
    • (\(L^{2}(-\pi,\pi)\to L^{2}{}\))
    • \(\{ e^{ikx} \}{}\) : base orthonormée
    • Sommes partielles \(S_{n}[f](x):=\sum_{k=-n}^{n}\hat{f}_{k}e^{ikx}\)\(=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_{n}(x-y)f(y) \, dy{}\)
      • noyeau de Dirichlet \(D_{n}(x)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left( x\left( n+\frac{1}{2} \right) \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)}{}\)
        • (\(\int_{-\pi}^{\pi} D_{n}(x) \, dx=2\pi{}\)) et \(D_{n}(x) = D_{n}(x+2\pi){}\)
      • \(S_{n}[f](x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_{n}(x-y)f(y) \, dy{}\)
    • Sommes moyennées \(\tilde{S}_{n}[f]:=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_{n}[f]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_{n}(x-y)f(y) \, dy{}\)
      • noyeau de Féjer \(F_{n}(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=-n}^{n}D_{n}(x)=\frac{1}{n}\left( \frac{\sin\left( \frac{nx}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} \right)^2{}\)
        • \(\int_{-\pi}^{\pi} F_{n}(x) \, dx=2\pi{}\) et \(F_{n}(x)=F_{n}(x+2\pi){}\)
      • \(f{}\) continue + période \(2\pi{}\)\(\bar{S}_{n}f\to f{}\) uniformement (→ \(\lim_{ n \to \infty }\tilde S _{n}[f]=f{}{}\))

Mesures

  • Tribus : \(\Sigma \subseteq \mathbf{B}(X){}\);1. \(\emptyset \in \Sigma{}\) 2. \(A,X\setminus A\in \Sigma{}\) 3. \(\bigcap _{j\in \mathbb{N}}A_{j}\in \Sigma{}\)

    • \(\bigcup_{j}A_{j}=X\setminus\bigcap_{j\in \mathbb{N}}(X\setminus A_{j}) {}\)
    • tribu Borélienne : la plus petite tribu contenant les ouverts
      • \(\mathfrak{B}(X)=\{ B:=\text{ensemble borélien}\}{}\)
  • mesure \(\mu(A):\Sigma \to \mathbb{R}^+{}\) :

    1. \(\mu(\emptyset )=0{}\)
    2. \(A_{j}{}\) disjoints : \(\mu(\bigcup A_{j})= \sum\mu(A_{_{j}}){}\) (\(<{}\)si \(A_{j}{}\) ! disjoints)
  • fonction Borel-mesurable : \(f:X\to Y{}\) si \(\forall A\in \mathcal{B}(Y),f^{-1}(A)\in \mathcal{B}(X){}\)

    • \(\forall A\subseteq Y{}\) ouvert \(f^{-1}(A)\in \mathcal{B}(X){}\) ⇒ mesurable
    • \(\forall A\subseteq Y{}\) ouvert : \(f^{-1}(A)\subseteq X{}\) est ouvert ⇒ mesurable
    • \(f{}\) continue ⇒ mesurables
  • suite croissante : \(A_{n}\subseteq A_{n+1}{}\)\(\mu(\cup A_{n})=\lim_{ n \to \infty }\mu(A_{n}){}\)

    • décroissante: \(A_{n+1} \subseteq A_{n}\) et \(\mu(A_1) < +\infty\)\(\mu(\bigcap_{n=1}^\infty A_n) = \lim_{n\to \infty} \mu(A_n)​\)
  • \(E{}\) ensemble négligeable : \(\exists A:\mu (A)=0, X\subseteq E{}\)

    • dénombrable ⇒ négligeable
      Exemples :
  • mesure de Jordan : Lesbegue avec somme finie

  • mesure de Lebesgue : la plus petite mesure qui coincide avec le volume

    • (m. ext. de L : \(\lambda^{n,*}(A):=\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty|R_j|\vert A\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty R_j , R_j\in \mathcal{S}^n\right\} {}\)
      • avec \(\mathcal{S}^{n}{}\) ensemble de rectancles seme-fermés de \(\mathbb{R}^n{}\)
    • \(\lambda^n:\mathfrak{B}(\mathbb{R}^n)\rightarrow[0,\infty[\)\(\lambda^n(A)=\lambda^{n,*}(A){}\)
  • mesure de Dirac : \(\mu_{x}(A) := \begin{cases}1 \ \text{ si } x \in A \\ 0 \ \text{ sinon}\end{cases}{}\) (\(\mu : \mathfrak{P}(X) \to [0,+\infty]{}\))

  • E Cantor(-Smith-Volterra) \(C=\cap^\infty C_{k}{}\) : \(C_{0}=[0,1],C_{n}:2^n{}\) intervalles (on retire ⅓ au milieu a chaque fois)

    • non dénombrable mais négligeable (!Jordan mesurable)

Intégrales

  • \(f{}\) intégrable sur \(X{}\): \(\int _{X}f \, d\mu<\infty{}\)

  • \(f:X\to Y{}\) mesurable borel-mesurable:

    • \(\forall A\in \mathfrak{B}(Y):f^{-1}(A)\in \mathfrak{B}(X){}\)
  • \(\lim \int \neq \int \lim{}\) sauf si :

    • th. de la convergence monotone : \(f_{n}:X\to \mathbb{R}^+{}\) décroissante(\(f_{n}\leq f_{n+1}{}\)) et mesurable et conv ponctuellement \(\to f{}\)
    • th. de la convergence dominée :\(f_{n}:X\to \mathbb{C}{}\) mesurable et conv ponctuellement \(\to f{}\) et \(\forall n\in N,|f_{n}|\leq g{}\) avec \(g:X\to \mathbb{R}^+{}\)
  • pondérer \(v(A)=\int _{A}f \, d\mu{}\) avec \(f{}\) le poids

    • théoreme de Radon-Nikodym : \(\mu{}\) dénombrable finie et \(v{}\) abs continue pdv \(\mu{}\)\(\exists f=\frac{dv}{d\mu} {}\)
  • ch de variable\(f_{*}\mu(A):=\mu (f^{-1}(A)){}\) avec \(f:X\to Y{}\) et \(\mu:X{}\)

  • fonction caractéristique : \(\chi_{A}=\left\{ 1:x\in A,0 \}\right.{}\)

  • vrai presque partout\(A\subseteq X:\exists E\subseteq A:\mu(E)=E{}\) et vrai dans \(A\setminus E{}\)

    • \(f=0{}\) presque partout ⇔ \(\int _{X}f \, d\mu{}=0\)

Définition (démo) intégrales

  • \(s{}\) fonction simple : \(s:\mathbb{R}\to X{}\)

  • Intégrales Simples : \(\int _{A}s \, d\mu=\sum^p\alpha_{i}\mu(A\cap s ^{-1}(\alpha_{i})){}\) avec \(\alpha_{i}{}\) hauteurs

    1. \(\int _{A}s \, d\mu=\int _{X}\chi_{A} \, d\mu{}\)
    2. \(\int _{A}s \, d\mu\leq \int _{B}s \, d\mu{}\) avec \(A\subseteq B{}\)
    3. \(\int _{A}s \, d\mu\leq \int _{A}t \, d\mu{}\) avec \(s(x)\leq t(x){}\)
    4. \(\int _{\cup A_{n}}s \, d\mu=\sum\int _{A_{n}}s \, d\mu{}\) E disjoints : stabilité par union dénombrable
    5. \(\int _{\cup A_{n}}s \, d\mu\leq\sum\int _{A_{n}}s \, d\mu{}\) E quelquonques
    6. \(\int _{A}\sum a_{i}s_{i} \, d\mu=\sum a_{i}\int _{A}s_{i} \, d\mu{}\)
  • Intégrales positives : \(\int _{A}f \, d\mu=sup\left\{ \int _{A}s \, d\mu, s\leq f \right\}{}\) (\(s:X\to[0,\infty]{}\)simple → f)

  • Intégrales : \(f=f^+{}-f^-\)\(\int f \, d\mu=\int f^+ \, d\mu-\int f^- \, d\mu{}\) (\(f^+, f^-{}\)intégrables)

  • Intégrales Complexes : \(\int _{A}f \, d\mu{}=\int _{A} \mathfrak{R}(f)\, d\mu+i\int _{A} \mathfrak{I}(f)\, d\mu+\) (\(\mathfrak{R,I}{}\) intégrables)

Bonus

Fonctions

  • th. de Weierstrass : \(\forall f:\exists f_{n}\to f{}\) (⇒ \(I{}\) compact ⇒polynomes dense dans \(C(I){}\))
     
    ⅕ - ⅖ pondération des devoirs