Espace vectoriel \(X{}\subseteq \mathbb{R}^n\)¶
- somme commutative
- multiplication distributive
- \(\exists{}0_{X},1_{X}\) : neutres pour les 2 opérations
Application - opérateur¶
\(A:\mathfrak{D}(A)\subset X\to Y :A(x)=y{}\). (Opérateur \(X\to X{}\)):
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linéaire : \(A\left( \sum\lambda_{i}x_{i} \right)=\sum\lambda _{i}A(x_{i}){}\)
. \(\forall \lambda _{i}\in \mathbb{C},\forall x_{i}\in \mathfrak{D}(A){}\) -
borné : \(| |A| |=\sup \limits_{\lvert \lvert x \rvert \rvert=1} \lvert \lvert A(x) \rvert \rvert<\infty\) = image d'une boule de rayon 1 bornée
- ⇔\(\exists M>0:\forall x\in U: \lvert \lvert x \rvert \rvert\leq M{}\)
- ⇒ A continue en 0
- ⇔ continue
- \(\iff \mathfrak{D}(A) <\infty{}\)
- ⇔ lipschitzienne
- th. bolzano weirstrass : E infini borné ⇒ admet points limite
- \(A{}\) borné, \(\mathfrak{D}(A){}\) dense dans X et Y complet ⇒ \(A{}\) A admet prolongement continu unique à tout X entier (agrandit la domaine car continuité sur les bords)
- (intégration → borné ; derivation → !borné)
-
\(\mathscr{L}(X,Y)\) ensemble applicatoin linéaires bornées :
- norme
- \((Y,\lvert \lvert \cdot* \rvert \rvert_{Y}){}\) complet ⇒ \(\mathscr{L}{}\) complet
- \(X^*:=\mathscr{L}(X,\mathbb{C}){}\) complet
-
kernel \(kerA\) : ensemble des entrées qui ont pour image \(0\)
-
soit \(A(x)=Bx\) ⇒ \(C(B)=ImA\) , \(N(B)=KerA\)
Projection et base dans un espace de hilbert¶
-
\(\{ u_{j} \}_{j\in J}{}\) base de \(E={}span\{ u_{j}: j\in J \}{}\)(combili\(u_{j}{}\)): génératrice + li-indé
- famille génératrice de \(E{}\) : \(\forall f\in E:f=\sum \langle u_{j},f \rangle{}u_{j}{}\)
- famille libre, li-indé : \(\sum \alpha_{j}u_{j}=0 \iff \alpha_{j}=0{}\)
-
\(\{ u_{j} \}_{j\in J}{}\) orthonormé : \(\langle u_{i}, u_{j} \rangle= \delta_{i,j}:=\left\{\begin{aligned} 0:i\neq j \\1: i=j \end{aligned}\right. {}\)
- \(f_{\mid\mid}=\sum\langle u_{j},f \rangle u_{j}{}\) et \(f_{\perp}=f - f_{\mid\mid}{}\)
- \(\langle f_{\mid\mid},f_{\perp} \rangle= \langle u_{j},f_{\perp} \rangle=0{}\)
- \(|| f||^2=|| f_{\mid\mid}||^2+|| f_{\perp }||^2{}\)
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base orthonormée de \(\mathfrak{H}{}\) :
- \(\iff{}\mathfrak{H}\) ensemble orthonormé maximal
- \(\iff\{ f \in \mathfrak{H} \ | \ \forall j \in J, \langle u_j, f \rangle = 0 \} = \{0\}{}\)
-
\(\mathfrak{H}{}\) → \(\exists{}\)base (séparable ⇒ Gram-Schmidt; sinon Axiome du choix)
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inégalité de Bessel : \(\{ u_{j} \}_{j\in J}{}\) orthonormée finie⇒\(\forall f\in \mathfrak{H}{}:\sum\lvert \langle u_{j},f \rangle \rvert^2\leq \lvert \lvert f \rvert \rvert^{2}\)
- (égal si base orthonormée)
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Projection sur \(M\subseteq \mathfrak{H}{}\): \(P_{M}f=\sum \langle f,u_{i} \rangle u_{i} {}\) (linéaire borné)
- \(P_{M}f \in M{}\) et \(\forall g \in M:\langle f-P_{M}f,g \rangle=0{}\)
- \(\forall g\in M:\lvert \lvert P_{M}(f) -f\rvert \rvert\leq \lvert \lvert g-f \rvert \rvert{}\)
- Lemme de Riesz : \(l\in l(\mathfrak{H},\mathbb{C}):\exists g\in \mathfrak{H}:l(f)=\langle g,f \rangle \quad\forall f\in \mathfrak{H}{}\)
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\(\hat{f}\) = limite de combinaisons linéaires de \(\{u_j\}_{j\in J}\) ⇒ \(\|\hat{f}-f\|^2 \geq \| f_\parallel - f \|^2\)