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Espace vectoriel \(X{}\subseteq \mathbb{R}^n\)

  1. somme commutative
  2. multiplication distributive
  3. \(\exists{}0_{X},1_{X}\) : neutres pour les 2 opérations
     
     

Application - opérateur

\(A:\mathfrak{D}(A)\subset X\to Y :A(x)=y{}\). (Opérateur \(X\to X{}\)):

  • linéaire : \(A\left( \sum\lambda_{i}x_{i} \right)=\sum\lambda _{i}A(x_{i}){}\) . \(\forall \lambda _{i}\in \mathbb{C},\forall x_{i}\in \mathfrak{D}(A){}\)

  • borné : \(| |A| |=\sup \limits_{\lvert \lvert x \rvert \rvert=1} \lvert \lvert A(x) \rvert \rvert<\infty\) = image d'une boule de rayon 1 bornée

    • ⇔\(\exists M>0:\forall x\in U: \lvert \lvert x \rvert \rvert\leq M{}\)
    • ⇒ A continue en 0
    • ⇔ continue
    • \(\iff \mathfrak{D}(A) <\infty{}\)
    • ⇔ lipschitzienne
    • th. bolzano weirstrass : E infini borné ⇒ admet points limite
    • \(A{}\) borné, \(\mathfrak{D}(A){}\) dense dans X et Y complet ⇒ \(A{}\) A admet prolongement continu unique à tout X entier (agrandit la domaine car continuité sur les bords)
    • (intégration → borné ; derivation → !borné)

  • \(\mathscr{L}(X,Y)\) ensemble applicatoin linéaires bornées :

    1. norme
    2. \((Y,\lvert \lvert \cdot* \rvert \rvert_{Y}){}\) complet ⇒ \(\mathscr{L}{}\) complet
    3. \(X^*:=\mathscr{L}(X,\mathbb{C}){}\) complet

  • kernel \(kerA\) : ensemble des entrées qui ont pour image \(0\)

  • soit \(A(x)=Bx\) ⇒ \(C(B)=ImA\) , \(N(B)=KerA\)

Projection et base dans un espace de hilbert

  • \(\{ u_{j} \}_{j\in J}{}\) base de \(E={}span\{ u_{j}: j\in J \}{}\)(combili\(u_{j}{}\)): génératrice + li-indé

    • famille génératrice de \(E{}\) : \(\forall f\in E:f=\sum \langle u_{j},f \rangle{}u_{j}{}\)
    • famille libre, li-indé : \(\sum \alpha_{j}u_{j}=0 \iff \alpha_{j}=0{}\)

  • \(\{ u_{j} \}_{j\in J}{}\) orthonormé : \(\langle u_{i}, u_{j} \rangle= \delta_{i,j}:=\left\{\begin{aligned} 0:i\neq j \\1: i=j \end{aligned}\right. {}\)

    • \(f_{\mid\mid}=\sum\langle u_{j},f \rangle u_{j}{}\) et \(f_{\perp}=f - f_{\mid\mid}{}\)
    • \(\langle f_{\mid\mid},f_{\perp} \rangle= \langle u_{j},f_{\perp} \rangle=0{}\)
    • \(|| f||^2=|| f_{\mid\mid}||^2+|| f_{\perp }||^2{}\)

  • base orthonormée de \(\mathfrak{H}{}\) :

    • \(\iff{}\mathfrak{H}\) ensemble orthonormé maximal
    • \(\iff\{ f \in \mathfrak{H} \ | \ \forall j \in J, \langle u_j, f \rangle = 0 \} = \{0\}​{}\)

  • \(\mathfrak{H}{}\) → \(\exists{}\)base (séparable ⇒ Gram-Schmidt; sinon Axiome du choix)

  • inégalité de Bessel : \(\{ u_{j} \}_{j\in J}{}\) orthonormée finie⇒\(\forall f\in \mathfrak{H}{}:\sum\lvert \langle u_{j},f \rangle \rvert^2\leq \lvert \lvert f \rvert \rvert^{2}\)

    • (égal si base orthonormée)

  • Projection sur \(M\subseteq \mathfrak{H}{}\): \(P_{M}f=\sum \langle f,u_{i} \rangle u_{i} {}\) (linéaire borné)

    • \(P_{M}f \in M{}\) et \(\forall g \in M:\langle f-P_{M}f,g \rangle=0{}\)
    • \(\forall g\in M:\lvert \lvert P_{M}(f) -f\rvert \rvert\leq \lvert \lvert g-f \rvert \rvert{}\)
    • Lemme de Riesz : \(l\in l(\mathfrak{H},\mathbb{C}):\exists g\in \mathfrak{H}:l(f)=\langle g,f \rangle \quad\forall f\in \mathfrak{H}{}\)

  • \(\hat{f}\) = limite de combinaisons linéaires de \(\{u_j\}_{j\in J}\) ⇒ \(\|\hat{f}-f\|^2 \geq \| f_\parallel - f \|^2\)