- Boule ouverte \(B_{r}(x)=\{ y\in X:d(x,y)<r \}{}\)

• \(\mathbf{B}(X)=P(X)=Z^X{}\) ensemble des sous ensembles de \(X{}\)

• \(\mathbb{N,Z,Q,R,C}{}\) (\(R_{0}=R\setminus \{ 0 \}{}\)) (\(N = \{ 1,2,\dots \}{}\) ; \(N_{0}=N\cup \{ 0 \}\))

• intervalle \(I=[a,b]=\{ x\in R,a\leq x\leq b \}{}\)

• \(\mathbb{R}^n{}\) vecteurs de taille n

• ensemble de fonctions : \(A^B{}:=\{ f:B\to A \}\) et \(n^X=\{ 0,n-1 \}^X{}\)

  • \(\mathbb{R}^\mathbb{N}{}=\{ f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} \}\) (suites)

• \(C(I)=\{ f:I\to \mathbb{R}: f \text{ continue} \}{}\) (Espace)

• Espaces de Lebesgue : \(L^p(a,b)=\left\{ f: \int_{a}^{b} \lvert f(x) \rvert_{p}\, dx<\infty \right\}{}\)

  • Espace : \(l^{p}(\mathbb{N})=\left\{ l_{i}^p\in \mathbb{R}^\mathbb{N}:| | l_{i}^p| |_{p}<\infty \right\}{}\)

Ensembles

• \(n\) cardinal de \(A\) : \(n=|A|=\#A \in N\) : taille d'un ensemble

  • \(|\emptyset |<|\{ 0,1 \}|<|\mathbb{N}|<|2^\mathbb{N}|=|\mathbb{R}|<|2^{2^\mathbb{R}}|{}\)

• Ensembles équipotents \(A \approx B \iff |A|=|B|\) si bijection de \(A\) vers \(B\)

  • \(N\approx Z\) : \(n\to \left\{\begin{align} \frac{{n+1}}{2}\quad\quad \frac{-n}{2} \end{align}\right.\)

• \(A\) est fini : \(A \approx \{ 1,2,..,n \}\) (\(A\approx \mathbb{N}\) → infini )

• Ensemble infini : jamais en bijection avec l'ensemble de ses parties

• Ensemble dénombrable (énumérable) : bijection avec les naturels

  • \(\iff |A|=|\mathbb{N}|{}\) (exemples : \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}{}\), paires et n-upplets)
  • \(\subseteq, \cup, \cap, \bigcup_{\infty \text{ enumérable}} {}\) d'E énumérables ⇒ enumérable
    • \(\bigcup_{\infty \text{ non-énumérable}}\) d'E énumérables ⇒ ! énumérable

• Ensemble étoilé en \(z_{0}\) : \(\forall z\in D\) chemin droit \(c:z_{0}\to z\), \(c\in D\)
  \(\mathcal{A}\in \mathbb{C}\) ouvert, étoilé, \(f:\mathcal{A}\to \mathbb{C}\) dérivable : \(F(z):=\int_{z_{0}}^{z} f(x) \, dw\)
  ⇒\(F'(z)=f(z)\)

• Ensemble simplement connexe : connexe et sans trou
  \(\mathcal{A}\in \mathbb{C}\) ouvert, simplement connexe, \(f:\mathcal{A}\to \mathbb{C}\) dérivable
  ⇒\(F'(z)=f(z)\)

• Ensemble connexe : E != réunion 2 ensembles fermés disjoints

• Ensemble connexe par arcs : tous les points sont reliés de façon continue

• Majorant \(M:\forall x\in U:x\leq M{}\); minorant \(m:\forall x\in U:x\geq m{}\)

• supremum \(sup(U){}\), infinimum \(inf(U){}\)

Opérateurs topologiques :

• Union : \(A\cup B=\{ x\in X:x \in A \text{ ou } x \in B \}{}\)

  • \(|A \cup B|=|A|+|B| - |A \cap B|\)

• disjonction, Intersection : \(A\cup B=\{ x\in X:x \in A \text{ et } x \in B \}{}\)

• Exclusion : \(A\setminus B=\{ x\in X:x \in A \text{ et } x \not\in B \}{}\)

• sous-ensemble : \(A\subseteq X:\forall x \in A,x\in X{}\)

  • intérieur : \(\underline{A}=A \setminus \partial A{}\)
    • point intérieur : \(\exists r>0:B_{r}(x)\subseteq A{}\)
    • extérieur : \(ext(A)=(\bar{A})^*=\underline{(A^*)}{}\)
  • Complémentaire : \(A^*=X \setminus A{}\)
  • frontière : \(\partial A=\{ x \in X: \forall r > 0:B_{r}(x) \cap A\not=\emptyset \text{ et } \cap A^{*} \not=\emptyset \}{}\)
  • Adhérence : \(\bar{A}=A\cup \partial A{}\) (plus petit fermé contenant A)
  • \(A{}\) ouvert !p frontieres ⇔ tt p intérieurs
    • fermé \(X\setminus A{}\) ouvert ; \(U=\overline{ U }{}\)

• Composition: \(|A\times B|=|A||B|\)

• point limite : \(\forall r>0: \exists y\neq x: y\in B_{r}(x)\cap A{}\)

• point isolé : \(\exists{}\) voisinage de \(x:\mathcal{V}(x)\cap A=\emptyset {}\)

  • \(\iff x\not\in \overline{ {A\setminus \{ x \}} }{}\)

Collections : Ensembles d'Ensembles

• Collection : ensemble d'ensemble

• Topologie \(T{}\) : Collection d'ouverts \(O\subseteq X{}\) (ex: \(\mathcal{P}(X){}\))

  1. \(X,\emptyset \in T{}\)
  2. \(\bigcup_{\alpha} O_{\alpha}{}\); 3. \(\bigcap_{\alpha<\infty} O_{\alpha}{}\) → ouvert (intersection \(\infty{}\) peut être fermé)

• Espaces > Espace Topologique
  voir Espaces