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voir distance, norme, produit scalaire

Espace Topologique

  • \((X,T){}\) Espace Topologique : ensemble + topologie
  • \(A{}\) dense dans \(X{}\) : \(\overline{ A }=X{}\) (\(\mathbb{Q} {}\) dense \(\mathbb{R}{}\))
    • \(\forall x\in X, \exists a \in A\subset X:d(a,x)<\epsilon{}\)

  • \(V{}\subset X\) voisinage de \(x\in X{}\) : \(\exists U_{\text{ouvert}} \subseteq V{}\) \(:x\in U{}\)

  • \(R{}\) recouvrement de \(Y{}\): Collection : \(Y\subseteq\bigcup_{\alpha}R_{\alpha}{}\)

  • Séparé : 2 points distinct → voisinage distinct (!= séparable)

  • séparable : \(\exists A\subseteq X{}\) dense et dénombrable

  • total : span(ss espace vect engendré) est dense dans \(X{}\)

  • Compact : séparé + tout recouvrement ouvert de \(T{}\) a un nombre fini de sous recouvrements.

      1. \(Im A{}\) continue 2. \(B\subseteq A{}\) fermé 3. \(\bigcup_{finie}{}\) d'un compact ⇒ compact
    • théorème de Heine-Borel : \(\mathbb{R}^{n},\mathbb{C}^n:{}\) compact <=> fermé + borné, n fini

  • séquentiellement compact : toute suite → \(\exists{}\) sous suite convergente

Espace métrique

  • Espace métrique :\((X,d){}\) : Ensemble, distance (aussi espace topologique)

    • (que 2 cond dist: pseudo-métrique)
    • \(X{}\) Complet : tt suite de cauchy converge vers \(x^*{}\) (\(\mathbb{R},\mathbb{C}, l^p, l^\infty,\not \mathbb{Q}{}\))
      • \(\exists i:X\to \overline{ X }{}\) complet : \(d(x,y)=\bar{d}(i(x),i(y)){}\) et \(\overline{ i(X) }={}\bar{X}{}\)
    • compact ⇔ séquentiellement Compact ⇔ Complet + séparable
    • compact ⇒ fermé
    • fermé ⇔ séquentiellement fermé
    • connexe : seuls ouverts+fermé : \(\emptyset,X {}\)
    • connexe par arcs : \(\exists\gamma_{\text{continue}}:\gamma(0)=x, \gamma(1)=y\quad\forall x,y\in X{}\)
    • (espace convexe : norme convexe)
    • th. point fixe : complet + \(f{}\) contractante ⇒\(\exists{}\) unique point fixe:\(f(x)=x{}\)

  • Espace Normé : \((X, | | \cdot| |){}\) espace vectoriel

    • \(X{}\) séparable \(\iff{}\exists\) famille de \(X{}\) totale

  • Espace de Banach \(\mathfrak{B}\) : Normé + Complet (ex: \(\mathbb{R}^n, l^p(\mathbb{N}),l^\infty(\mathbb{N}){}\))

    • critère de Weierstrass : \(f{}\) conv ponctuellement ⇒ conv uniformément

  • Espace préhilbertiens : \((X, \langle \cdot,\cdot \rangle){}\) espace vectoriel

  • Espace de Hilbert \(\mathfrak{H}{}\) : préhilbertiens + Complet (⇒ \(\mathfrak{B}{}\))