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Distances

  • Distance :\(X\times X\to R^+{}\) 3 conditions : (\(d(u,v)=| |u-v| |{}\))

    1. symétrie : \(d(u,v)=d(v,u){}\)
    2. inégalité triangulaire : \(d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v){}\)
      • \(\iff{}\)inégalité triangulaire inverse :\(|d(u,w)-d(w,v)| \leq d(u,v){}\)
    3. \(d(u,v)=0\iff u=v{}\)

  • Distance euclidienne : \(d_{e}(x,y)=\sqrt{ \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i}-y_{i})^{2}}{}\)

  • distance de manhattan : \(d_{m}(x,y)=\sum_{0}^{n-1}|x_{i}-y_{i}|{}\)

Norme

  • Norme : \(||\cdot||:X\to \mathbb{R}^+{}\) (continue, convexe, k-Lipschitzienne)

    1. séparation : \(\lvert \lvert x \rvert \rvert=0 \implies x=0{}\)
    2. absolue homogénéité : \(\lvert \lvert \alpha x \rvert \rvert = \lvert \alpha \rvert\cdot \lvert \lvert x \rvert \rvert{}\) ~~.\(\forall \alpha \in \mathbb{R},\forall x\in X{}\) ~~
    3. inégalité triangulaire : \(||x+y||\leq||x||+||y||{}\) .\(\forall x,y{}\)

  • norme induite : \(||u||=d(0,u){}=\sqrt{ \langle u,u \rangle }{}\)

  • n. euclidienne \(| | u| |_{p}=\sqrt[p]{ \sum |u_{i}|^p }{}\) → sur f : \(\lvert \lvert f \rvert \rvert_{p}=\sqrt[p]{ \int_{X} \lvert f \rvert^p \, d\mu} {}\)

  • n. du maximum \(| | f| |_{\infty}=max_{x\in I}(f(x)){}\) ~~.\(f\in C(I){}\) ~~

Produit scalaire

  • Produit scalaire : \(\langle u,v \rangle:X\times X\to \mathbb{R}^+{}\)

    1. bilinéaire : \(\langle \alpha u + w,v \rangle=\alpha\langle u,v \rangle + \langle w,v \rangle{}\)
    2. symétrique : \(\langle u,v \rangle= \langle v,u \rangle{}\)
    3. défini positif : \(\langle u,u \rangle>0 : u\quad \forall u\neq 0{}\)

  • Produit scalaire Complexe : \(\langle u,v \rangle:X\times X\to \mathbb{C}{}\)

    1. sesquilinéaire : 1er : antilinéaire(linéaire pdv conjugé) ; 2eme linéaire : \(\langle \alpha f,\beta g \rangle=\alpha^*\langle f,\beta g \rangle = \alpha^*\beta\langle f,g \rangle{}\)
    2. symétrie conjugée : \(\langle f,g \rangle= \langle g,f \rangle^*{}\)

  • identité du parallélogramme : \(||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2{}\)

    • ⇒\(\langle u,v \rangle=\frac{||u+v||^2-||u-v||^2}{4} =\frac{||u+v||^2-||u||^2-||v||^2}{2}{}\)
    • (th. Fréchet-Von Neumann-Jordan )

  • prop. Cauchy-Schwarz : \(\lvert \langle f,g \rangle \rvert\leq \lvert \lvert f \rvert \rvert\cdot \lvert \lvert g \rvert \rvert{}\)

  • orthogonaux : \(\langle u,v \rangle=0\implies u\perp v{}\)

  • parallèles : \(\exists \alpha:\alpha u=v\implies u\mid\mid v{}\)