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Axiomes de Kolmogorov
- \(P(A)\in[0,1]\)
- \(P(\Omega)=1\)
- \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) (disjoints)
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proba d'Union : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
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Probabilités conditionnelles : \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) A sachant(corrigé par)B
- \(A\perp\!\!\!\perp B\iff P(B|A)=P(B)\iff P(A|B)=P(A)\)
- théorème de Bayès : \(P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}P(B|A)\)
- Inférences statistiques : \(p\) proba de réussite, \(b\) réussites, \(n\) épreuves
- succession de Laplace (Bayèsienne) \(p\approx \frac{b+1}{n+1}\)
- raisonnement Fréquentiste : \(p\approx \frac{b}{n}\)
Espaces probabilisés¶
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définition
- Univers \(\Omega\)
- Tribu (\(\sigma\)-algèbre) \(\mathcal{A} \{ \Omega \}\) : sous ensembles de \(\Omega\)
- \(\bar{a}=\frac{\Omega}{A} \in \mathcal{A}\) , \(a_{1}\cup a_{2}\in\mathcal{A}\) fermé par rapport a l'union et complément
- Probabilité \(P:\mathcal{A}\to[0,1]\)
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Produit \(=(\Omega_{1}\times\Omega_{2}, A_{1}\times A_{2}, P(A_{1})P(A_{2}))\) (évenements indé)
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évenements indépendants \(A\perp\!\!\!\perp B \iff P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
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épreuve de Bernouilli : \(\Omega=\{ E,S \}\) échecs, succès
- \(\mathcal{A}(\Omega)=\{ \emptyset, \{ E \}, \{ S \}, \Omega \}\), \(p\) succès
- \(\times n\) → Schéma de B : \(\Omega=\{ E,S \}^n\), \(\mathcal{A}(\Omega)\) : proba \(p^kq^{n-k}\)
Variable aléatoire \(X\)¶
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\(X:\Omega_{1}\to\Omega_{2}\) et inverse : \(\forall A\in\Omega_{2}: X^{-1}(A)\in\Omega_{1}\)
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proba indépendante de l'espace : \(P_{1}(A)=P_{2}(X(A))\)
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variables indépendantes : \(X_{1}^{-1}(A_{1})\perp\!\!\!\perp X_{2}^{-1}(A_{2})\)
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variable alé réelles (continues) : ??
- nb infini → prends surface
- Borel-Lebesgue
- produits cartésiens d'intervalles, unions finis/dénombrables et compléments d'E mesurable → mesurable
- mesure \(\mu:\mathcal{B}\to \mathbb{R}\cup \infty\): \(\mu(A)=\sum \mu(A_{i})\),\(P(A)=\frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}\)
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Espérance : \(\mathbb{E}(X)=\int xf(x) \, dx=\sum sP(s)\) avec \(s\) valeurs de \(X\)
- linéaire : \(\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)\)
- Moment d'ordre \(n\) : \(m_{n}=\mathbb{E}(X^n)\)
- Fonction génératrice des moments \(=E(e^{tX})\)
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Variance - écart type \(\sigma\) : \(Var(X)=\sigma^{2}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-\mathbb{E}(X)^{2}\)
- Covariance : \(Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\)
- variables indépendates : \(Cov(X,Y)=0\)
- ⇒\(Var(aX+bY)=a^{2}Var(X)+2abCov(X,Y)+b^{2}Var(Y)\)
- Variance Conditionnelle \(Var(X|Y=y)=\int (x-\mathbb{E}(Y|X=x))^{2}f(y|x) \, dx\)
- avec \(X|Y\) ⇒ \(Var(X)=\mathbb{E}(Var(X|Y))+Var(\mathbb{E}(X|Y))\)
- Covariance : \(Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\)
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Corrélation \(\rho(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}\in[-1,1]\) (0 → indé; 1 → li-dép)
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Inégalité de Markov : \(P(X\geq a\mathbb{E}(X))\leq \frac{1}{a}\)
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Inégalité Bienaymé-Tchebychev \(P(|X-\mathbb{E}(X)|\geq a\sigma(X))\leq \frac{1}{a^{2}}\)
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Vecteur de var alé \((X,Y)\) : \(F(X,Y)=P(X\geq x, Y\geq y)\)
- \(X\perp\!\!\!\perp Y\implies P({\tiny X{=}x,Y{=}y})=P({\tiny X{=}x})P ({\tiny Y{=}y} )\) ou \(f(x,y)=\int f \, dx\cdot\int f \, dy\)
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\(x\) est quantile de \(p\) : \(x:P(X<x)= p\) ou \(F(x)=p\)
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Médiane : quantile de \(0.5\)
- \(x \in I\) si \(X\)pas continu
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Densité de probabilité \(f(x)=P(X=x)\) : (\(X\) continue) \(P(X \in[a,b])=\int_{a}^{b} f(t) \, dt=F(b)-F(A)\)
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Fonction de répartition : \(F(x)=P(x\leq X)=\int_{-\infty}^{x}f(t) \, dt\)
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\(Y=h(X)\)⇒\(f_{y}(x)=\frac{f(x)}{|h'(x)|}\) et \(\mathbb{E}_{y}=\int h(x)f(x) \, dx=\sum h(x)P(X=x)\)
Lois de probabilités¶
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Loi géométrique : \(P(X=x)=q^xp\) avec \(q\) proba échecs et \(x\) nb échecs avant réussite
- \(\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p}\) et \(\sigma^{2}=\frac{q}{p^{2}}\)
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Loi Binomiale : \(P(N=k)=B(n,k)p^xq^{n-k}\) avec \(n\) épreuves, \(x\) réussites (\(\{ E,S \}^n\to \{ 0,1,\dots n \}\))
- \(\mathbb{E}(X)=np\) et \(\sigma^{2}=npq\)
- \(p\ll 1\) ⇒ \(\approx\) loi de poisson : \(\mu=np\)
- \(npq\gg 1\) ⇒ \(\approx\) loi normale : \(\mu=np\) et \(\sigma^{2}=npq\) (e\(\mathcal{O}\left( \frac{1}{\sqrt{ n }} \right)\))
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Loi exponentielle \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) et \(F(x)=1-e^{\lambda x}\) avec \(\lambda\) taux proba/temps
- \(\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}\) et \(\sigma^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}\)
- \(\approx\) loi de poisson : \(\lambda=\left[ \frac{p}{t} \right]\), intervalles \(n=\frac{T}{\Delta t}\) : \(\mu=\lambda T\)
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Loi de Poisson \(P(N=k)=f(k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\) avec \(n\gg 1,p\ll 1\)
- \(\mathbb{E}(X)=\sigma^{2}=\mu\)
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Loi Normale \(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{ 2\pi }}e^{-(x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}}=N(\mu,\sigma^{2})\) (loi de Gauss)
- Théorème central limite : \(\forall Z_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}\) , espérance \(\mu\), variance \(\frac{\sigma^{2}}{n}\)
- \(n\to \infty\)
- \(\lim_{ n \to \infty }Z_{n}\sim N(\mu , \sigma^{2}/n)\)
- variable centrée réduite \(Z_{n}'=\frac{Z_{n}-\mu}{\sigma /\sqrt{ n }}\) → \(Z_{n}'\sim N(0 , 1)\)
- \(P\left( |\frac{\sum X_{i}}{n}-\mu|\geq\epsilon \right)\to 0\)
- Théorème central limite : \(\forall Z_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}\) , espérance \(\mu\), variance \(\frac{\sigma^{2}}{n}\)