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Fonction d'onde \(\psi\) distribution spatiale de la particule
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Densité de probabilité : \(|\psi|^{2}\) (\(|z|^{2}=\bar{z}\cdot z\))
voir aussi puits et barrières de potentiel
Equation de Schrödinger¶
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\(\left( -\frac{\hbar^{2}\nabla^{2}}{2m}+V \right)\psi=i\hbar \psi_{t}\) avec \(V=V(x,y,t)\)
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souvent E défini : \(\psi=\psi_{1}(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}\) et \(| \psi|^{2}=|\psi_{1}(\vec{r})|^{2}\)
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particule stationnaire : (el gravite autour du noyau)
- ⇒ eq Indépendante du temps : \(\left( -\frac{\hbar^{2}\nabla^{2}}{2m}+V \right)\psi_{1}(\vec{r})=E\psi_{1}(\vec{r})\)
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particule non-localisée \(\psi_{1}(\vec{r})=C_{k}e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}\) et \(\psi_{2}(t)=C_{E}e^{-iEt/\hbar}\)
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particule localisée \(\psi_{1}(\vec{r})=\int_{-\infty}^{\infty}\) au dessus, pareil
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superposition quantique : système à 2+ état → combili : \(\psi=\sum_{i}^{}\alpha_{i}\psi_{i}\)
- paradoxe du chat de Schrodinger : proba ½ d'une situation → dans les 2
Solution particule libre¶
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potentiel nul (!Forces → énergie interne cst → \(U=0\))
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\(\psi=C(k)e^{i(kx-\bar{n}k^{2}t/2m)}\) avec \(C(k)\) le pic
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Energie \(E=\hbar w_{0}\), impulsion \(p=\hbar k_{0}\)
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Solution particule libre localisée (paquet d'ondes):
- \(\psi=\int_{-\infty}^{\infty} C(k)e^{i(kx-\bar{n}k^{2}t/2m)} \, dk\)
incertitude d'Heisenberg : \(\Delta x\Delta p\geq \frac{\hbar}{2}\)et \(\Delta E\Delta t\geq \frac{\hbar}{2}\)
- \(\psi=\int_{-\infty}^{\infty} C(k)e^{i(kx-\bar{n}k^{2}t/2m)} \, dk\)
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pour un certain \(k\) on a \(\Delta p=0\) et \(\Delta x=\infty\)
Oscillateur quantique¶
\(k\) constante de raideur (voir Oscillateurs harmoniques)
- niveaux d'Energie : \(E_{n}=\left( n+\frac{1}{2} \right) \hbar \omega\) avec \(\omega=\sqrt{ \frac{k}{m} }\)
Solution pour le niveau d'énergie le plus bas : fonction d’Hermite :
\(\psi=Ce^{-\sqrt{ mk }x^{2}/2\hbar}\) (Fonction d'onde de Schrödinger)