• Fonction d'onde \(\psi\) distribution spatiale de la particule

• Densité de probabilité : \(|\psi|^{2}\) (\(|z|^{2}=\bar{z}\cdot z\))
  voir aussi puits et barrières de potentiel

Equation de Schrödinger

• \(\left( -\frac{\hbar^{2}\nabla^{2}}{2m}+V \right)\psi=i\hbar \psi_{t}\) avec \(V=V(x,y,t)\)

• souvent E défini : \(\psi=\psi_{1}(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}\) et \(| \psi|^{2}=|\psi_{1}(\vec{r})|^{2}\)

• particule stationnaire : (el gravite autour du noyau)

  • ⇒ eq Indépendante du temps : \(\left( -\frac{\hbar^{2}\nabla^{2}}{2m}+V \right)\psi_{1}(\vec{r})=E\psi_{1}(\vec{r})\)

• particule non-localisée \(\psi_{1}(\vec{r})=C_{k}e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}\) et \(\psi_{2}(t)=C_{E}e^{-iEt/\hbar}\)

• particule localisée \(\psi_{1}(\vec{r})=\int_{-\infty}^{\infty}\) au dessus, pareil

• superposition quantique : système à 2+ état → combili : \(\psi=\sum_{i}^{}\alpha_{i}\psi_{i}\)

  • paradoxe du chat de Schrodinger : proba ½ d'une situation → dans les 2

Solution particule libre

• potentiel nul (!Forces → énergie interne cst → \(U=0\))

• \(\psi=C(k)e^{i(kx-\bar{n}k^{2}t/2m)}\) avec \(C(k)\) le pic

• Energie \(E=\hbar w_{0}\), impulsion \(p=\hbar k_{0}\)

• Solution particule libre localisée (paquet d'ondes):

  • \(\psi=\int_{-\infty}^{\infty} C(k)e^{i(kx-\bar{n}k^{2}t/2m)} \, dk\)
    incertitude d'Heisenberg : \(\Delta x\Delta p\geq \frac{\hbar}{2}\)et \(\Delta E\Delta t\geq \frac{\hbar}{2}\)

• pour un certain \(k\) on a \(\Delta p=0\) et \(\Delta x=\infty\)

Oscillateur quantique

\(k\) constante de raideur (voir Oscillateurs harmoniques)

• niveaux d'Energie : \(E_{n}=\left( n+\frac{1}{2} \right) \hbar \omega\) avec \(\omega=\sqrt{ \frac{k}{m} }\)

Solution pour le niveau d'énergie le plus bas : fonction d’Hermite :
\(\psi=Ce^{-\sqrt{ mk }x^{2}/2\hbar}\) (Fonction d'onde de Schrödinger)