Equation d'ondes électromagnétiques¶
- milieu linéaire, homogène, non-magnétique et isotrope, \(\mu,\epsilon, \rho\) cst
Cas \(\vec{E}\perp \vec{H}\)¶
ondes transverses \(\vec{E},\vec{B}\) avec \(\vec{E}\perp \vec{B}\),
équation de propagation (avec lois de Lenz Faraday) : dans le vide
\(\frac{ \partial E_{y} }{ \partial x }=-\mu_{0}\frac{ \partial H_{z} }{ \partial t }\)
\(\frac{ \partial H_{z} }{ \partial x }=-\epsilon_{0}\frac{ \partial E_{y} }{ \partial t }\)
équation d'onde : \(\frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} }E_{y}=c^{2}\frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} }E_{y}\) (pareil pour \(H_{z}\))
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⇒ Solutions : \(f(x,t)=f(x-vt)\) déplacement sur l'axe des x
! prop de terme cst : \(A(x - vt) = Z \cdot B(x - vt)= −Z · B(x + vt)\) -
superposition 2 ondes progr sens opposé ⇒ \(0\)
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Cas \(\vec{E} \not\perp \vec{H}\) : principe de superposition des ondes → résultat s'applique
Particularités¶
\(A=H_{z} \quad\qquad a=\epsilon_{0}\)
\(B=E_{y} \quad \qquad b=\frac{1}{\mu_{0}}\)
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Vitesse de la lumière : \(c=v=\sqrt{ \frac{b}{a} }=\sqrt{ \frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}} }=2,9975\cdot 10^8\)
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densité d'énergie : \(u=u_{E}+u_{M}=\epsilon E^{2}\;J/m^3\)
- densité d'énergie Electrique : \(u_{E}=\frac{\epsilon E^{2}}{2}=[J/m^3]\)
- densité d'énergie Magnétique : \(u_{M}=\frac{ B^{2}}{2\mu}=\frac{\epsilon E^{2}}{2}[J/m^3]\)
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Intensité (vide)d'une onde électromagnétique : \(I:=cu=c\epsilon E^{2}=[W /m^{2}]\)
- onde sinusoidale(vide) ⇒ \(I_{\text{moyenne}}=\frac{\epsilon cE^{2}_{max}}{2}\)
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Vecteur de Poynting \(\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}\) : direction propagation, \(I=|\vec{S}|\)