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\(V\) change brutalement de valeur
voir aussi Fonction d'onde de Schrödinger

Puits Infinis

puit : \([0,L]\) avec \(U(x)=\left\{\begin{align} 0 \;&\text{si}\;x \in P\\\infty \;& \end{align}\right.\)

  • mode \(n\) (cas d'onde stationnaire) : \(\psi_{n}=\sqrt{ \frac{2}{L} }\sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right)\in P\)

  • Energie propre : \(E_{n}=\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}\)

    • ⇒+Dimensions :\(\psi=\prod\psi_{n_{i}}\) et \(E=\sum E_{n_{i}}\)

Puit Fini

\(P=\left[ -\frac{L}{2}; \frac{L}{2}\right]\) avec \(U(x)=\left\{\begin{align} -U_{0} \;&\text{si}\;x \in P\\0 \;& \end{align}\right.\) avec \(U_{0}\) le travail de sortie

  • si \(E>U_{0}\) alors particule indépendante du puit

  • solution \(\psi(x)=\left\{\begin{align} Ae^{\alpha x}\;&\text{si}\;x<L /2\\C\cos(\beta x)\;&\text{si}\; x \in P\\Be^{-\alpha x}\;&\text{si}\;x>L /2 \end{align}\right.\) (sym \(\cos\) → asymétrique: \(\sin\))
    avec \(A,B,C,\alpha,\beta\) liés entre eux

  • énergie \(E_{n}=-\frac{\hbar^{2}\alpha^{2}_{n}}{2m}\)

    [!note] un electron peut quitter le puits sans avoir l'énergie nécéssaire

Barrière de potentiel

barrière : \([0,L]\) avec \(U(x)=\left\{\begin{align} U_{0} \;&\text{si}\;x \in B\\0 \;& \end{align}\right.\)

  • Solution : \(\psi(x)=\left\{\begin{align} Ae^{ikx}+B^{-ikx}\;&\text{si}\;x<0\\Ce^{\alpha x}+De^{-\alpha x}\;&\text{si}\;x \in B\\Fe^{ikx}\;&\text{si}\;L<x \end{align}\right.\) (contraintes de continuité)

    • \(Ae^{ikx}\) onde incidente
    • \(B^{-ikx}\) onde réfléchie
    • \(Fe^{ikx}\) onde transmise

  • si \(E>U_{0}\) : particule quasi libre (barrières fines parfois plus réfléchissantes que les grosses)

  • Effet tunnel \(E<U_{0}\) : la particule peut traverser la barrière (si \(F \neq 0\))

    • proba rebondisse \(R\) - traverse \(T\) → \(T+R=1\) :

  • ⇒ microscope a effet tunnel