pas complet …
 

• Convolution : \(x*y=\sum_{k}^{\infty} x[k]y[n-k]{}\)
  • \(x(t)*h(t)=\int_{-oo}^\infty x(\tau)h(t-\tau) \, d\tau{}\)

Signaux

• pair / impair : → somme de s pair et impair : \(x(t)=x_{p}(t)+x_{i}(t){}\) :

• périodique : \(x(t)=x(t+T){}\) avec \(\omega=\frac{2\pi}{T}{}\) (discret : \(x[n+N]{}\) et \(\Omega=\frac{2\pi}{N}{}\))

• déterministe / aléatoire : peut le prédire

• Energie : \(E=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}(t) \, dt{}\)

• Puissance : \(P=\lim_{ T \to \infty } \frac{1}{T}\int_{-T /2}^{T/2} x^{2}(t) \, dt{}\)

Si. élémentaires	Continu \(x(t){}\)	Discret \(x[n]{}\)
impulsion	delta Dirac	delta Kronecker
def	\(\delta(t)=\{t=0: \infty , 0\}\)	\(\delta[n]=\{n=0: 1 , 0\}\)
multiplication	\(f(t)\delta(t-a)=f(a)\delta(t-a){}\)	\(f[n]\delta[n-a]=f[a]\delta[n-a]{}\)
intégration	\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt=1{}\)	\(\sum_{-\infty}^{\infty}\delta[n]=1{}\)
convolution	\(f(t)*\delta(t-a)=f(t-a){}\)	\(f[n]*\delta[n-a]=f[n-a]{}\)
Echelon	\(u(t-a)=\{ 1:t\geq a, 0 \}{}\)	\(u[n-a]=\{ 1:n\geq a,0 \}{}\)
→ delta	\(\delta(t)=\frac{ d }{ dt }u(t){}\)	\(\delta[n]=u[n]-u[n-1]{}\)
Rampe	\(r(t-a)=\{ t:t\geq a, 0 \}{}\)	\(r(n-a)=\{ n:t\geq a ,0\}{}\)
→ echelon	\(r(t)=tu(t){}\)	\(r[n]=n u(n){}\)

→ somme d'impulsion : \(x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(s)\delta(t-s) \, ds{}\)

Systemes \(\mathcal{H}\{ x(t) \}=y(t){}:signal\to signal\)

• Systeme LIT: Linéaire a temps invariant(LTi) :

  • invariance temporelle : sortie ne varie pas si entrée retardé
    • \(\mathcal{H}\{ x \}[n]=y[n]\implies \mathcal{H}\{ x \}[n-a]=y[n-a]{}\)
  • linéaire : \(\mathcal{H}\{ax+by\}=a\mathcal{H}\{ x \}+b\mathcal{H}\{ y \}\)
     

• sans mémoire : \(y(t)=cx(t)\implies h[n]=c\delta[n]{}\)

• causal : depend pas des valeurs futures : \(h[n]=0\quad\forall n<0{}\)

• inversible : \(\exists h^{-1}:h^{-1}*h=\delta{}\)
   

• réponse indicielle : \(s(t):=h(t)*u(t){}\) → \(h(t)=\frac{ds(t)}{dt}{}\)

• interconnection :\(H_{1}\{ H_{2}\{ \} \}:h_{1}(t)+h_{2}(t){}\)et \(H_{1}\{ \}+H_{2}\{ \}:h_{1}(t)*h_{2}(t){}\)
   
  representation S LIT

• reponse impulsinnelle : \(h(t)=H\{ \delta(t) \}{}\) → \(y[k]=x[k]*h[k]{}\)

• Schéma Bloc : …

• eq diff entrée sortie : …

• repr. d'état : …

Transformées

 

Fonction de transfert

• fonction de tansfert : \(H(z)=\sum_{-\infty}^{\infty}h[k]z^{-n}{}\)

  • image de \(x[n]\to X(z)\to Y(z)=X(z)H(z)\to y(n){}\)
  • \(G(z)=\mathcal{L}\{ g(s) \}{}\)

• diagramme de bode : graphe (echelle log): \(\omega\to 20\log_{10}(|H(j\omega)|){}\)

  • CONSTRUCTION : \(H=K \frac{\left( \frac{j\omega}{\omega_{0}} \right)\left( \frac{j\omega}{\omega_{1}} +1\right)\left( \frac{j\omega}{\omega_{2}}^{2}+2\xi \frac{j\omega}{\omega_{2}}+1\right)}{\left( \frac{j\omega}{\omega_{3}} \right)\left( \frac{j\omega}{\omega_{4}} +1\right)\left( \frac{j\omega}{\omega_{5}}^{2}+2\xi \frac{j\omega}{\omega_{5}}+1\right)}{}\)
  • → \(20\log(jw)\to {}\) pente 20db / décade
  • \(\log(j\omega+1)\to 0 : \omega\leq 1 {}\)

terme	amplitude	Phase
\(K{}\)	\(20\log_{10}(K){}\)	\(0: K>0; \pm \pi:K<0{}\)
\(\frac{j\omega}{\omega_{i}}{}\)	\(20\log\left( \frac{\omega}{\omega_{0}} \right){}\)	\(\frac{\pi}{2}{}\)
\(\frac{j\omega}{\omega_{i}}+1\)	\(\left\{\begin{aligned} 0 :\omega\ll\omega_{i}\\ 20\log \sqrt{ 2 } \approx 3 : \omega=\omega_{i}\\20\log\left( \frac{\omega}{\omega_{i}} \right):\omega\gg\omega_{i} \end{aligned}\right.{}\)	\(\left\{\begin{aligned} 0 &:\omega\ll\omega_{i}\\ \frac{\pi}{4} &: \omega=\omega_{i}\\ \frac{\pi}{2}&:\omega\gg\omega_{i} \end{aligned}\right.{}\)
\(\frac{j\omega}{\omega_{i}}^{2}+2\xi \frac{j\omega}{\omega_{i}}+1{}\)	\(\left\{\begin{aligned} 0 :\omega\ll\omega_{i}\\ 20\log (2\xi ) \approx 3 : \omega=\omega_{i}\\40\log\left( \frac{\omega}{\omega_{i}} \right):\omega\gg\omega_{i} \end{aligned}\right.{}\)	\(\left\{\begin{aligned} 0 &:\omega\ll\omega_{i}\\ \frac{\pi}{2} &: \omega=\omega_{i}\\ \pi&:\omega\gg\omega_{i} \end{aligned}\right.{}\)

• Schéma-bloc :entrée \(x{}\), sortie \(y{}\), états internes \(q_{i}{}\)

  • \(\forall i:I_{i}=0{}\)
  • etat : \(q'(t)=Aq(t)+Bx(t){}\) et \(y(t)=Cq(t)+Dx(t){}\)
  • fct de transfert : \(H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D{}\)
    • \(C(sI-A)^{-1}=\frac{Ccof(zI-A)B}{\det(zI-A)}{}\)

• ch de var interne : \(Tq=\tilde{q}=TAT^{-1}\tilde{q}+TBx{}\) et \(y=CT^{-1}\tilde{q}+Dx{}\)
   

Commandabilité

• \(x^*{}\) atteignable : \(\exists T:x[T]=x^*{}\) avec \(x[0]=0{}\)

• soit \(y[n]=cx[n]{}\) et \(x[n+1]=Ax[n]+bu[n]{}\)

  • matrice de commandabilité : \(\mathcal{C}(A,b)=(A^{d-1}b \dots Ab \; b){}\)
  • matrice d'observabilité : \(\mathcal{O}(A,c)=(c \dots cA^{n-1}){}\)

• systeme commandable : tt etat atteignable ( \(\forall x^*{}\) )

  • \(\iff C {}\) de rang plein \(\iff \det(C)\neq 0{}\)

• \(\bar{q}{}\) accessible : \(q(0)=0, \exists T:q(T)=\bar{q}{}\)

• non-observable :\(\forall T>0:x(t)=0\quad\forall t\in [0,T]\) ⇒ \(y(t)=0 \quad\forall t\in [0,T] {}\)

  • S observable (aucun état non-observable) :
    • observation finie de la sortie → determine état initial
  • entirement observable : \(\mathcal{O}{}\) de plein rang
  • ker de \(\mathcal{O}(A,C)=(C \dots CA^{n-1}){}\)

Stabilité

• BIBO Stable(Bounded input B. output) : entrée bornée ⇒ sortie bornée

  • \(|x[n]|\leq M_{x}<\infty \;\;\forall n{}\) ⇒ \(|y[n]|\leq M_{y}<\infty \;\;\forall n{}\)
  • \(\iff LTI:\sum_{-\infty}^{\infty}|h[k]|<\infty{}\)

  • TODO

• Stabilité interne : \((\bar{q},\bar{x}){}\) point équilibre : \(A\bar{q}+B\bar{x}=0{}\)

  • stable : + bruit ⇒ reste dans une marge
  • attractif : +bruit ⇒ tasser a 0
    • asymptotiquement stable : stable + attractif (\(\forall i:\mathfrak{R}\{ \lambda _{i} \}<0,|\lambda_{i}|<1{}\))
  • systeme stable : tt equilibre stables
  • \(\forall i:\mathfrak{R}\{ \lambda _{i} \}>0,|\lambda_{i}|>1{}\) ⇒ instable
  • \(\forall i:\mathfrak{R}\{ \lambda _{i} \}\leq0,|\lambda_{i}|\leq1{}\) :
    • \(\forall i : |\lambda_{i}|=1\implies m_{g}(\lambda_{i})=m_{a}(\lambda_{i}){}\) ⇒ marginalement stable
    • \(\exists i : |\lambda_{i}|=1\implies m_{g}(\lambda_{i})=m_{a}(\lambda_{i}){}\) ⇒ instable

    • TODO